2D物理(22) Velocity At Point

刚体点速度与碰撞后速度计算解析

I. 接触点合成速度 (Velocity at Point)

1.1 速度合成公式

\(\mathbf{v}_P = \underbrace{\mathbf{v}_{\text{linear}}}_{\text{线速度}} + \underbrace{\mathbf{\omega} \times \mathbf{r}_P}_{\text{角速度贡献}}\) 符号说明：

• (\mathbf{v}_{\text{linear}}): 物体质心线速度
• (\mathbf{\omega}): 角速度矢量（3D）/标量（2D）
• (\mathbf{r}_P): 质心到点P的向量

1.2 三维到二维简化

三维投影到二维平面： \(\mathbf{\omega} \times \mathbf{r}_P \Rightarrow \omega \cdot \mathbf{r}_P^{\perp} \quad (\text{其中} \ \mathbf{r}_P^{\perp} = [-r_y, r_x])\)

代码实现：

Vec2 ComputePointVelocity(const RigidBody& body, const Vec2& point) {
    Vec2 r = point - body.position;     // 相对质心位置
    Vec2 tangent(-r.y, r.x);            // 旋转方向切线
    return body.linearVelocity + body.angularVelocity * tangent;
}

II. 碰撞后速度更新 (Post-Collision Velocity)

2.1 冲量法更新原则

更新方程： \(\begin{cases} \mathbf{v}_{\text{new}} = \mathbf{v} + \frac{\mathbf{j}}{m} \\ \mathbf{\omega}_{\text{new}} = \mathbf{\omega} + \mathbf{I}^{-1} (\mathbf{r} \times \mathbf{j}) \end{cases}\) 冲量约束：

• 冲量方向由法线决定 (\mathbf{j} = j_n\mathbf{n} + j_t\mathbf{t})

• 需满足库仑摩擦条件 (

  j_t

  \leq \mu j_n )

2.2 碰撞响应流程图

graph TD
    PreVelocity[碰撞前速度v₁,v₂] --> Impulse
    Impulse[冲量计算j] --> ApplyLinear[更新线速度]
    Impulse --> ApplyAngular[更新角速度]
    ApplyLinear --> PostVelocity[碰撞后速度v₁',v₂']
    ApplyAngular --> PostVelocity

III. 完整碰撞响应计算

3.1 关键参数计算步骤

1. 相对速度计算： \(\mathbf{v}_{\text{rel}} = (\mathbf{v}_B + \mathbf{\omega}_B \times \mathbf{r}_B) - (\mathbf{v}_A + \mathbf{\omega}_A \times \mathbf{r}_A)\)

2. 法向冲量计算： \(j_n = \frac{ -(1+e)(\mathbf{v}_{\text{rel}} \cdot \mathbf{n}) }{ \text{有效质量} } \] \[ \text{有效质量} = \frac{1}{m_A} + \frac{1}{m_B} + \frac{ (\mathbf{r}_A \times \mathbf{n})^2 }{I_A} + \frac{ (\mathbf{r}_B \times \mathbf{n})^2 }{I_B}\)

3. 摩擦冲量限制： \(j_t^{max} = \mu j_n \quad \Rightarrow \quad j_t = \text{clamp}(..., -j_t^{max}, j_t^{max})\)

3.2 完整C++示例

struct ContactSolver {
    struct Contact {
        Vec2 point;     // 碰撞点
        Vec2 normal;    // 法线方向
        float e;        // 恢复系数
        float mu;       // 摩擦系数
    };
  
    void Resolve(RigidBody& a, RigidBody& b, const Contact& c) {
        // 计算相对向量
        Vec2 rA = c.point - a.position;
        Vec2 rB = c.point - b.position;
      
        // 计算接触点速度
        Vec2 vA = a.linearVel + a.angularVel * Vec2(-rA.y, rA.x);
        Vec2 vB = b.linearVel + b.angularVel * Vec2(-rB.y, rB.x);
        Vec2 vRel = vB - vA;
      
        // 计算有效质量
        float normalMass = 1.0f/(a.invMass + b.invMass + 
                        CrossSqr(rA, c.normal)*a.invInertia + 
                        CrossSqr(rB, c.normal)*b.invInertia);
      
        // --> 法线方向冲量
        float vNormal = Dot(vRel, c.normal);
        float jn = -(1 + c.e) * vNormal * normalMass;
        jn = std::max(jn, 0.0f); // 防止拉力
      
        // --> 切线方向冲量
        Vec2 tangent = Normalize(vRel - c.normal * vNormal);
        float tangentMass = 1.0f/(a.invMass + b.invMass + 
                        CrossSqr(rA, tangent)*a.invInertia + 
                        CrossSqr(rB, tangent)*b.invInertia);
        float vt = Dot(vRel, tangent);
        float jtMax = c.mu * jn;
        float jt = -vt * tangentMass;
        jt = Clamp(jt, -jtMax, jtMax);
      
        // 合成冲量向量
        Vec2 impulse = jn * c.normal + jt * tangent;
      
        // 应用冲量到两个物体
        ApplyImpulse(a, -impulse, rA);
        ApplyImpulse(b,  impulse, rB);
    }

    inline float CrossSqr(const Vec2& r, const Vec2& dir) {
        return (r.x*dir.y - r.y*dir.x); // 叉积在2D中的表达
    }
  
    void ApplyImpulse(RigidBody& rb, const Vec2& impulse, const Vec2& r) {
        rb.linearVel  += impulse * rb.invMass;
        rb.angularVel += Cross(r, impulse) * rb.invInertia;
    }
};

IV. 关键工程实践

4.1 特殊案例处理

情形：静态物体碰撞 \(// 当检测到静态物体时调整冲量计算 if(a.IsStatic()) { impulse = impulse * 2.0f; // 动态物体承受双倍冲量 b.ApplyImpulse(impulse); // 静态物体速度不变 }\)

情形：完全非弹性碰撞 \((e=0)\ \Rightarrow \ \text{冲击后法向速度完全消除} \] \[ v_n' = 0, \quad v_t' = \text{剩余切向速度}\)

4.2 数值稳定性保障技巧

• 速度截止阈值（避免微小震荡）

  const float SLEEP_THRESHOLD = 0.01f;
  if(LengthSq(linearVel) < SLEEP_THRESHOLD && abs(angularVel) < SLEEP_THRESHOLD) {
      SetSleepState(true); 
  }
  

• 冲量限幅处理：

  const float MAX_IMPULSE = 1000.0f;
  jn = Clamp(jn, -MAX_IMPULSE, MAX_IMPULSE);
  

V. 碰撞响应验证方法

5.1 可视化调试工具

速度箭头绘制函数：

void DebugDrawVelocity(const RigidBody& rb) {
    DrawArrow(rb.position, rb.linearVel, RED);  // 线速度
    DrawCircularArrow(rb.angularVel, rb.position, BLUE); // 角速度
}

5.2 单位测试用例

测试案例1：完全弹性碰撞

# 输入参数
m1, m2 = 1.0, 1.0
v1_initial = [2.0, 0], ω1 = 0.0
v2_initial = [-1.0,0], ω2 = 0.0
e = 1.0

# 预期结果
v1_final = [-1.0, 0], v2_final = [2.0, 0]
assert NearlyEqual(CalcFinalVelocity(), expected)

测试案例2：纯旋转碰撞

# 输入：一个静止物体被旋转物体撞击
m1 = INF, m2 = 1.0
v1 = [0,0], ω1 = 5.0 rad/s
v2 = [0,0], ω2 = 0.0

# 结果验证：角动量是否守恒
angular_momentum_before = I1 * ω1
angular_momentum_after = I1 * ω1' + I2 * ω2'
assert Delta(angular_momentum) < EPSILON

重要结论：在真实游戏引擎开发中，接触点速度的计算精度直接影响碰撞响应的真实感。建议采用 双精度浮点数处理速度相关计算，搭配 预测校正算法 处理高速运动物体的穿透问题。同时，对旋转能量过高的物体（如陀螺效应）要加入 角速度阻尼机制 避免数值失真。