Impulse Method 核心推导与冲量计算
I. 相对速度计算基础
1.1 接触点速度解析
\(\mathbf{v}_A = \mathbf{v}_{cm}^A + \mathbf{\omega}_A \times (\mathbf{p} - \mathbf{x}_A)\) \(\mathbf{v}_B = \mathbf{v}_{cm}^B + \mathbf{\omega}_B \times (\mathbf{p} - \mathbf{x}_B)\)
- 物理含义：接触点实际速度 = 质心速度 + 旋转分量
- 图示参考：
II. 恢复系数理论
2.1 牛顿恢复定律
定义碰撞前后的相对速度关系：
\((\mathbf{v}_B' - \mathbf{v}_A') \cdot \mathbf{n} = -e (\mathbf{v}_B - \mathbf{v}_A) \cdot \mathbf{n}\)
- e: 恢复系数（橡胶≈0.8，钢球≈0.95，黏土=0）
- 数学限制：0 ≤ e ≤ 1 （e=1为完全弹性碰撞）
III. 冲量方程推导
3.1 动量守恒方程
冲量改变物体线速度和角速度：
\[\Delta \mathbf{v}_A = -\frac{\mathbf{j}}{m_A} \quad \Delta \mathbf{\omega}_A = -(-\mathbf{r}_A \times \mathbf{j}) \cdot \mathbf{I}_A^{-1}\]3.2 法线方向冲量公式
\(j_n = \frac{-(1+e) (\mathbf{v}_B - \mathbf{v}_A) \cdot \mathbf{n} }{ \frac{1}{m_A} + \frac{1}{m_B} + \mathbf{n} \cdot [ ( \mathbf{r}_A \times \mathbf{n}/I_A ) \times \mathbf{r}_A ] + ... }\) 分量拆解：
- 分母项第一部分：质量反项和
- 分母项第二部分：转动惯量相关项
3.3 完整推导步骤
$$ // 相对速度投影到法线方向 float v_rel = Dot( (vB + Cross(omegaB, rB)) - (vA + Cross(omegaA, rA)) ), n );
// 法线方向有效质量计算 float invEffectiveMass = 1/mA + 1/mB + Dot( Cross(rA, n)/IA, Cross(rA, n) ) + Dot( Cross(rB, n)/IB, Cross(rB, n) );
// 恢复系数项 float v_bounce = -(1 + e) * v_rel;
// 求出法线冲量 float jn = v_bounce / invEffectiveMass;
$$
IV. 摩擦冲量处理
4.1 库伦摩擦模型
\(|\mathbf{j}_t| \leq \mu \cdot \mathbf{j}_n\)
-
静摩擦阶段（相对切向速度 < ε）： \(\mathbf{j}_t = -\frac{ (\mathbf{v}_{rel}^t \cdot \mathbf{t}) }{\mathbf{t}^T M^{-1} \mathbf{t}} \mathbf{t}\)
-
动摩擦阶段： \(\mathbf{j}_t = \mu_d \cdot \mathbf{j}_n \cdot \text{sign}(\mathbf{v}_{rel}^t) \cdot \mathbf{t}\)
4.2 代码实现
```cpp // 计算切向方向 Vec2 tangent = (v_rel - normal * Dot(v_rel, normal)).Normalize();
// 摩擦冲量计算 float jt = -Dot(v_rel, tangent) / invEffectiveMass; jt = Clamp(jt, -j_n * static_friction, j_n * static_friction);
// 合成总冲量 Vec2 impulse = j_n * normal + j_t * tangent; $$
V. 旋转效应解析
5.1 等效接触点力矩
\(\mathbf{M}_A = \mathbf{r}_A \times \mathbf{j}\)
5.2 角速度更新公式
\(\Delta \mathbf{\omega}_A = \mathbf{I}_A^{-1} (\mathbf{r}_A \times \mathbf{j})\)
VI. 数值实现策略
6.1 基本算法流程
\(mermaid graph LR CalcNormalImpulse[计算法线冲量 jn] --> FrictionCheck[摩擦力限制检验] FrictionCheck --> ApplyImpulse[应用冲量到物体] ApplyImpulse --> UpdateVel[更新速度]\)
6.2 关键代码实现
```cpp struct ContactSolver { float SolveNormalImpulse(Rigidbody& a, Rigidbody& b, Contact& c, Mat2& rotation) { Vec2 rA = c.point - a.position; Vec2 rB = c.point - b.position;
// 计算接触点速度差
Vec2 vA = a.linearVelocity + a.angularVelocity * Ortho(rA);
Vec2 vB = b.linearVelocity + b.angularVelocity * Ortho(rB);
Vec2 dv = vB - vA;
// 计算法线方向参数
float vn = dv.Dot(c.normal);
float e = c.restitution;
float eff_mass = 1.0f / (a.invMass + b.invMass
+ CrossSqr(rA, c.normal) * a.invInertia
+ CrossSqr(rB, c.normal) * b.invInertia);
float jn = -(1.0f + e) * vn * eff_mass;
jn = std::max(jn, 0.0f); // 确保物理合理
return jn;
} }; $$
VII. 常见问题调试
7.1 震荡解决方案
- 引入速度阈值：当相对速度低于阈值时停止计算 ```cpp const float VELOCITY_SLEEP_THRESHOLD = 0.1f; if (vn < VELOCITY_SLEEP_THRESHOLD) break; $$
7.2 旋转失效检测
- 转动惯量校验：检查物体惯性矩是否为合理值 ```cpp assert(rigidbody.inertia > FLT_EPSILON); $$
7.3 特殊情形处理
静态物体碰撞（质量无限大物体）： \(m_A \rightarrow \infty \Rightarrow \Delta\mathbf{v}_A = 0, \Delta\mathbf{\omega}_A = 0\)
处理步骤伪代码： \(python if a.isStatic or b.isStatic: eff_mass = 1.0 / (a.invMass + b.invMass) # 将静态物体的invMass设为0\)
VIII. 高级应用技巧
8.1 预热启动优化
```cpp // 使用上一帧缓存的冲量提升收敛速度 void ApplyWarmStart(Contact& c) { a.ApplyImpulse(-c.impulse * BETA, c.point); b.ApplyImpulse( c.impulse * BETA, c.point); } $$
8.2 混合冲量策略
\(mermaid graph TD Iter1[迭代1-4次: 普通求解] --> Iter2[迭代5-8次: 增强摩擦计算] Iter2 --> Iter3[最后迭代次: 限制最大冲量幅度]\)
工程最佳实践：在商业级物理引擎中，通常采用 分8次迭代的序列冲量算法 配合 Baumgarte稳定性补偿项，并设置 冲量最大允许变化范围 以避免数值爆炸。以下是建议配置参数： ```cpp const int SOLVER_ITERATIONS = 8; const float IMPULSE_ACCUM_LIMIT = 100.0f; const float BIAS_FACTOR = 0.2f; // 用于穿透修正 $$