投影方法深度解析
I. 核心数学建模
1.1 投影方向理论
当检测到穿透时，需要沿碰撞法线( n )方向分解位移： \($ \Delta x = \lambda \cdot \mathbf{\hat{n}}\) 其中 ( \lambda ) 与穿透深度δ相关，满足： \(\Delta x_a + \Delta x_b = \delta \cdot \mathbf{\hat{n}}\)
1.2 质量比例分配原理
刚体质量影响位移分配权重： \(k = \frac{m_b}{m_a + m_b} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \Delta x_a = -k \cdot \delta \cdot \mathbf{\hat{n}} \\ \Delta x_b = (1 -k) \cdot \delta \cdot \mathbf{\hat{n}} \end{cases}\) 确保动量守恒与视觉效果合理
II. 基础实现框架
2.1 位置投影公式
void PositionProjection(Rigidbody& a, Rigidbody& b,
const Vec2& normal, float penetration) {
const float slop = 0.01f; // 允许的最小穿透修正
const float percent = 0.8f; // 矫正比例
float total_mass = a.inv_mass + b.inv_mass;
if (total_mass <= 0) return;
// 计算质量加权后的修正向量
Vec2 correction = normal * (std::max(penetration - slop, 0.0f) / total_mass) * percent;
a.position -= a.inv_mass * correction;
b.position += b.inv_mass * correction;
}
2.2 速度投影公式
void VelocityProjection(Rigidbody& a, Rigidbody& b,
const Vec2& normal, float penetration) {
// 基于恢复系数的速度响应
const float e = std::min(a.restitution, b.restitution);
Vec2 relative_vel = b.velocity - a.velocity;
float vel_along_normal = relative_vel.Dot(normal);
// 仅在接近时处理
if (vel_along_normal > 0) return;
float impulse_mag = -(1 + e) * vel_along_normal;
impulse_mag /= (a.inv_mass + b.inv_mass);
Vec2 impulse = impulse_mag * normal;
a.velocity -= a.inv_mass * impulse;
b.velocity += b.inv_mass * impulse;
}
III. 刚体旋转处理
3.1 接触点速度计算
考虑旋转带来的切线速度： \(v_i^{total} = v_i^{linear} + \omega_i \times r_i\) 代码实现：
Vec2 GetVelocityAt(const Rigidbody& body, const Vec2& contact_point) {
return body.velocity + body.angular_velocity *
(contact_point - body.position).Perpendicular();
}
3.2 含扭矩的投影方程
void ApplyImpulseWithRotation(Rigidbody& body, const Vec2& impulse,
const Vec2& contact_point) {
body.velocity += impulse * body.inv_mass;
body.angular_velocity +=
(contact_point - body.position).Cross(impulse) * body.inv_inertia;
}
IV. 动态摩擦模型
4.1 切向速度计算
Vec2 tangent_vel = relative_vel - normal * relative_vel.Dot(normal);
float max_friction = friction_coeff * impulse_mag;
// 剪切冲量计算
Vec2 friction_impulse = tangent_vel.Truncate(max_friction);
4.2 切向冲量应用
a.velocity -= a.inv_mass * friction_impulse;
b.velocity += b.inv_mass * friction_impulse;
V. 迭代求解策略
5.1 多步迭代优化
for (int i = 0; i < solver_iterations; ++i) {
for (auto& contact : contacts) {
SolveVelocityConstraint(contact);
SolvePositionConstraint(contact);
}
}
典型配置：
- 桌面应用：8-10次迭代
- 移动端游戏：4-6次
- 高精度仿真：20+次
VI. 矩阵形式表达
6.1 接触约束雅可比矩阵
\(J = \begin{bmatrix} -\mathbf{\hat{n}} & -(r_a \times \mathbf{\hat{n}}) & \mathbf{\hat{n}} & r_b \times \mathbf{\hat{n}} \end{bmatrix}\) 其中 ( r ) 为接触点距质心的向量
\[M_{\text{eff}} = \frac{1}{\frac{1}{m_a} + \frac{1}{m_b} + \frac{(r_a \times \mathbf{\hat{n}})^2}{I_a} + \frac{(r_b \times \mathbf{\hat{n}})^2}{I_b}}\]VII. 实践技巧
7.1 数值稳定化处理
- 速度阈值滤波：
if (abs(vel_along_normal) < 0.1f) { impulse *= 0.5f; // 消除微小震荡 } - 深度缓冲突变：
penetration = smooth_step(old_depth, new_depth, 0.2f);
7.2 混合刚体处理
| 刚体类型 | 碰撞响应策略 |
|---|---|
| 静态物体 | 仅移动动态物体 |
| 运动学物体 | 部分冲量传递 |
| 角色控制器 | 自定义响应曲线 |
VIII. 性能优化
8.1 Warm Starting
预热约束求解器：
// 使用上一帧冲量初始化
impulse *= persistence_factor;
8.2 Batch 批次处理
SIMD优化后的代码架构：
__m128 impulse4 = _mm_mul_ps(vel4, inv_mass4);
// 同时处理4个接触点
IX. 进阶问题处理
9.1 堆叠稳定性
堆栈倒塌的解决方案：
- 金字塔约束法：优先处理底层接触
- 多级求解策略：每层单独迭代
9.2 多物体连环碰撞
使用传播标识：
bool needs_recheck = true;
while (needs_recheck) {
needs_recheck = SolvePropagatedCollisions();
}
X. 验证指标
10.1 能量守恒检测
监测系统动能变化： \(\Delta E = \left| \frac{E_{\text{post}}}{E_{\text{pre}}} \right| \in [0.9,1.1]\)
10.2 穿透持续检测
设置碰撞维持计数器：
if (contact.persist_frames > 3) {
ForceSeparation(); // 强制分离机制
}
设计准则 始终遵循能量流向原则：计算得到的冲量需要确保系统动能不会异常增加。建议基于误差项的平方量级调整迭代次数，实现自适应性调节。最终的解决方案应达到：
- 位置正确性：帧末无视觉穿透
- 速度连续性：碰撞瞬间速度突变符合预期
- 能量稳定性：长时间仿真无能量异常积累