圆形碰撞检测系统深度解析
I. 基础检测原理
1.1 欧几里得距离准则
当且仅当两个圆心距离 $d$ 满足： \(d \leq (r_a + r_b) \Rightarrow \text{碰撞发生}\) 其中 \(d = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}\)
1.2 运算优化策略
实际实现时避免平方根运算： \(d^2 \leq (r_a + r_b)^2 \Rightarrow \text{快速判断}\) 此方法将浮点运算数量减少65%（由3次乘减至1次，省去平方根）
II. 运动状态下的连续碰撞检测（CCD）
2.1 运动学方程建模
考虑两圆的相对运动轨迹方程： \(\begin{aligned} \mathbf{C}_a(t) &= \mathbf{P}_a + t\mathbf{V}_a \\ \mathbf{C}_b(t) &= \mathbf{P}_b + t\mathbf{V}_b \\ d(t)^2 &= \|\mathbf{C}_a(t) - \mathbf{C}_b(t)\|^2 \end{aligned}\) 求解满足 \(d(t) = r_a + r_b$ 的时间 $t \in [0,1]\)
2.2 关键判别式展开
构建相对运动方程：
\(\Delta\mathbf{V} = \mathbf{V}_b - \mathbf{V}_a \\ \Delta\mathbf{P} = \mathbf{P}_b - \mathbf{P}_a \\ \left( \Delta\mathbf{P} + t\Delta\mathbf{V} \right)^2 = (r_a + r_b)^2\) 展开得到二次方程：
\[(\Delta V_x^2 + \Delta V_y^2)t^2 + 2(\Delta P_x\Delta V_x + \Delta P_y\Delta V_y)t + (\Delta P_x^2 + \Delta P_y^2 - R_{\text{sum}}^2) = 0\]2.3 实时性优化手段
- 预筛阶段：用包围盒预测可能碰撞的时间窗口
- 线性近似：在时间步Δt内视为匀直线运动
- 射线投射法：将相对运动视为射线与静态圆相交问题
III. 密集场景优化策略
3.1 空间划分技术
| 方法 | 适用场景 | 算法复杂度 |
|---|---|---|
| 均匀网格法 | 密集均匀分布的静态圆形 | O(n) |
| 四叉树索引 | 动态/非均匀分布环境 | O(n log n) |
| 空间哈希法 | 极大规模粒子系统 | O(1)查询 |
3.2 层级检测流程
graph TD
A[BroadPhase: 筛选潜在碰撞对] --> B[MidPhase: 布道快速排斥测试]
B --> C[NarrowPhase: 精确定量计算]
IV. 碰撞响应参数计算
4.1 碰撞法向量
\[\mathbf{\hat{n}} = \frac{\mathbf{C}_b - \mathbf{C}_a}{\|\mathbf{C}_b - \mathbf{C}_a\|}\]即为两圆心连线的单位向量
4.2 穿透深度计算
\(\delta = (r_a + r_b) - d\)
负值时表示尚未碰撞，正值时为交叠量
V. 混合形状协同检测
5.1 包围圆筛选法
为多边形物体建立外接圆进行预筛选： \(\text{实际碰撞} ⟹ \text{包围圆碰撞 ∩ 多边形精确检测}\)
可过滤掉80%以上的无效检测对
5.2 运动方向预测
结合速度矢量的方向进行优先级排序： \(\text{即将相向运动} > \text{同向低速运动} > \text{远离运动}\)
VI. 特殊边界情况处理
6.1 全包含状态
当一圆完全包含另一圆时： \(d + r_b \leq r_a ⟹ \text{内包状态} ≤ \text{需特殊响应策略}\)
6.2 完全重叠处理
当 \(d=0\) 且 \(r_a = r_b\) 时：
- 引入微小随机位移避免计算异常
- 标记为需要人工干预的特殊碰撞
VII. 误差分析与修正
7.1 浮点精度误差
- 现象：在快速移动时出现虚假穿透
- 方案：引入 ε-tolerance 缓冲带： \(d ≤ (r_a + r_b) + ε\)
7.2 运动模糊补偿
针对高速物体可能穿过对方的情况：
- 虚拟扩张半径：\(r' = r + v_{\text{max}} \cdot \Delta t\)
- 反向追溯法：通过轨迹积分补偿时间步偏差
VIII. 理论性能极限
根据空间搜索维度，性能随物体数量变化：
| 方法 | 时间复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 暴力检测 | O(n²) | n < 100 |
| 空间哈希 | O(n) | 动态平衡系统 |
| 分层检测 | O(n log n) | 极大规模系统 |
IX. 动态响应耦合分析
当碰撞发生后，需计算：
- 冲量作用点：圆心连线方向上中点
- 能量分配比：基于两球的材质属性
- 旋转传递效应：考虑表面摩擦影响切向速度
X. 设计决策指南
| 场景 | 推荐方法 |
|---|---|
| 静态物体检测 | 平方距离比较法 |
| 高速运动物体 | 连续碰撞检测（CCD） |
| 粒子系统（千级以上） | 网格空间划分 + 批量检测 |
| 精度敏感场景 | 64位双精度计算 |
| VR/AR实时应用 | GPU并行加速检测 |
核心洞见 圆形碰撞虽看似简单，背后是运动学建模与计算优化的深层博弈。工程师需在物理准确性、计算效率、实现复杂度之间找到最佳平衡点。现代物理引擎普遍采用混合策略，在不同场景动态切换检测算法，才能兼顾实时性与精确度。