扭矩与转动惯量系统详解
I. 扭矩的物理本质
1.1 旋转运动的”力量”
扭矩（Torque）是改变物体旋转状态的动力因素，相当于平移运动中的力。数学定义为：
τ = r × F \\ (叉乘运算)
‖τ‖ = ‖r‖‖F‖sinθ
1.2 扭矩的性质
- 作用点敏感：同一力在不同作用位置生成不同扭矩
- 方向性：遵循右手定则确定旋转方向
- 叠加性：多个扭矩可代数叠加
II. 转动惯量的物理意义
2.1 旋转运动的”质量”
转动惯量（Moment of Inertia）I 反映了物体抵抗旋转状态变化的程度：
I = Σ m_i r_i² \\ (离散质量分布)
I = ∫ r² dm \\ (连续质量分布)
2.2 关键特性对比
| 属性 | 平移运动 | 旋转运动 |
|---|---|---|
| 惯性量 | 质量 (mass) | 转动惯量 (I) |
| 运动定律 | F = ma | τ = Iα |
| 能量形式 | (1/2)mv² | (1/2)Iω² |
| 叠加方式 | 标量直接相加 | 需考虑轴心位置 |
III. 扭矩的工程实现
3.1 数据结构设计
struct RigidBody {
// 线性运动
Vec2 position;
Vec2 velocity;
Vec2 force_accum;
// 旋转运动
float rotation;
float angular_vel;
float torque_accum; // 累计扭矩
// 惯量属性
float inv_mass;
float inv_inertia;
// 关联的碰撞形状
const Shape* shape;
};
3.2 扭矩计算原理
void ApplyForceAtPoint(const Vec2& force, const Vec2& point) {
Vec2 r = point - position; // 计算到质心的矢量
torque_accum += Cross(r, force); // 累积扭矩值
force_accum += force; // 同时记录线力
}
3.3 叉乘计算细节
float Cross(const Vec2& a, const Vec2& b) {
return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
/*
解释：
- 正值 → 逆时针旋转
- 负值 → 顺时针旋转
- 零值 → 力过质心，不产生旋转
*/
IV. 转动惯量的计算策略
4.1 常用形状的解析公式
| 形状 | 公式 | 代码实现 |
|---|---|---|
| 圆盘（质量m，半径r） | I = (1/2)mr² | return 0.5f * mass * radius * radius; |
| 实心方块（宽w，高h） | I = (m(w²+h²))/12 | return (w*w + h*h) * mass / 12.0f; |
| 细棒（长L）绕端点 | I = (mL²)/3 | return mass * length * length / 3.0f; |
| 质点（距离r） | I = mr² | return mass * r * r; |
4.2 复合形状的计算
采用平行轴定理计算复杂构型的转动惯量：
I_{total} = I_{center} + md²
// 示例：计算两个质点的转动惯量
float CalculateCompoundInertia() {
const float m1 = 2.0f, d1 = 3.0f; // 质量2kg，距轴3m
const float m2 = 1.0f, d2 = 4.0f;
return m1*d1*d1 + m2*d2*d2;
}
V. 角加速度处理流程
5.1 完整物理步进
void SimulateStep(float dt) {
// 清除累计值
ClearAccumulators();
// 应用所有外力
ApplyExternalForces();
// 计算角加速度
const float alpha = torque_accum * inv_inertia; // α = τ/I
// 积分更新状态
Integrate(alpha, dt);
}
5.2 积分方法选择
void Integrate(float alpha, float dt) {
// 半隐式欧拉法（稳定，适合实时模拟）
angular_vel += alpha * dt; // ω += α*Δt
rotation += angular_vel * dt; // θ += ω*Δt
// 数值稳定性处理
angular_vel *= powf(0.99f, dt); // 角速度阻尼
}
VI. 动态转动惯量引擎设计
6.1 自动惯量更新机制
void RigidBody::UpdateInertia() {
if (shape) { // 若形状变化则重新计算
inertia = shape->ComputeInertia(mass);
inv_inertia = (inertia > 0) ? 1.0f/inertia : 0;
}
}
6.2 惯量张量（3D扩展准备）
I =
\begin{bmatrix}
I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\
-I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\
-I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz}
\end{bmatrix}
struct InertiaTensor {
float data[3][3];
// 必要时可降维处理：2D仅需I_zz分量
};
VII. 调试与验证技术
7.1 单位测试案例
TEST(InertiaTest, SolidCube) {
Box cube(2.0f, 2.0f); // 边长为2m的方块
float I = cube.ComputeInertia(12.0f); // 质量12kg
// 理论值 = [m(w²+h²)]/12 = 12*(4+4)/12 = 8
ASSERT_FLOAT_EQ(I, 8.0f);
}
7.2 收敛性验证
void VerifyAngularMotion() {
// 给定恒定扭矩，验证角加速度精度
RigidBody body/* 初始化*/;
const float τ = 10.0f;
body.torque_accum = τ;
float ω_prev = body.angular_vel;
body.Integrate(0.1f);
float Δω = body.angular_vel - ω_prev;
// 理想Δω = (τ/I)*Δt
float expected = τ * body.inv_inertia * 0.1f;
ASSERT_NEAR(Δω, expected, 1e-5);
}
7.3 能量守恒监控
void CheckEnergyConservation() {
float energy_rot = 0.5f * inertia * angular_vel * angular_vel;
// 可与平移动能相加，监测总能量变化
}
VIII. 高级优化技巧
8.1 惯量预计算系统
对常用形状建立查找表：
static std::map<ShapeType, float> inertia_LUT = {
{CIRCLE, [](float m, float r){ return 0.5f*m*r*r; }},
{BOX, [](float m, float w, h){ return m*(w*w+h*h)/12.0f; }},
// ...其他形状预设
};
8.2 SIMD优化加速
// 使用SSE指令并行计算多个刚体的角加速度
__m128 inv_inertias = _mm_load_ps(&bodies[0].inv_inertia);
__m128 torques = _mm_load_ps(&bodies[0].torque_accum);
__m128 alphas = _mm_mul_ps(torques, inv_inertias); // α = τ*I⁻¹
IX. 碰撞响应中的扭矩补偿
当发生碰撞时，冲量应用需考虑旋转分量：
void ApplyImpulseWithRotation(const Vec2& impulse, const Vec2& contact_point) {
// 线速度变化
velocity += impulse * inv_mass;
// 角速度变化（r为接触点相对于质心的矢量）
Vec2 r = contact_point - position;
angular_vel += Cross(r, impulse) * inv_inertia;
}
X. 常见问题解决方案
| 问题现象 | 物理根源 | 修复方案 |
|---|---|---|
| 物体发生非物理高速旋转 | Δt过大导致数值发散 | 采用变步长积分/增加阻尼 |
| 物体静止却持续旋转 | 未清除残余扭矩 | 每帧清零torque_accum |
| 复合形状旋转轴漂移 | 未正确应用平行轴定理 | 重新计算质心参考系的转动惯量 |
| 碰撞后出现异常抖动 | 冲量应用点计算误差 | 严格验证接触点位置的坐标变换 |
关键设计总结
- 扭矩计算的核心在于作用点与方向的精确描述
- 转动惯量是物体质量分布的空间特性的数字编码
- 现代物理引擎通过预计算惯量+运行时扭矩综合实现高效模拟
- 保持dimensionless原则（所有物理量需统一单位）