软体模拟（Soft Bodies）与Verlet积分深入解析
I. Verlet积分的基础理论与优势
1. Verlet积分原理
Verlet是一种基于位置更新的数值积分法，核心思想是通过 当前和前一帧的位置 推算下一帧位置，绕过了直接依赖速度的计算。
基础公式： \(x_{t+\Delta t} = 2x_t - x_{t-\Delta t} + a_t (\Delta t)^2\) 其中：
- \(x_{t+\Delta t}\)：下一时刻位置
- \(x_t\)：当前时刻位置
- \(x_{t-\Delta t}\)：上一时刻位置
- \(a_t\)：当前加速度
2. Verlet的独特优势
| 特性 | 说明 | |————————–|————————————-| | 时间可逆性 | 适合需要回放系统的物理模拟 | | 守恒能量特性 | 天然减少能量逸散，适合弹簧系统 | | 无需显式存储速度 | 通过位置差隐式计算速度，节省内存 | —
3. 代码实现
struct Particle {
Vec2 position; // 当前位置
Vec2 prev_position; // 上一帧位置
Vec2 acceleration;
bool movable = true; // 是否固定（如布料四角）
};
void VerletIntegrate(Particle& p, float dt) {
if (!p.movable) return;
Vec2 temp = p.position; // 保存当前帧位置
Vec2 velocity = (p.position - p.prev_position); // 隐式速度 ≈ Δx/Δt (dt已被吸收)
p.position += velocity + p.acceleration * dt * dt;
p.prev_position = temp;
p.acceleration = Vec2(0,0); // 清空加速度
}
II. 软体动力学模型：质點-弹簧系统
1. 网格拓扑构造
软体由 质点（粒子）和连接弹簧 组成，常见网格类型：
| 网格类型 | 连接方式 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 四面体网格 | 三维结构，每个四面体含4个质点 | 实体软体(如果冻) |
| 三角形网格 | 二维/三维表面网格，每个面三个质点 | 布料、薄膜 |
| 棱柱网格 | 棱边连接主导 | 绳索、链状结构 |
代码结构：
struct SoftBody {
vector<Particle> particles;
vector<Spring> springs; // 弹簧数组
vector<Triangle> faces; // 面信息（可选，用于碰撞检测）
};
struct Spring {
int particleA, particleB; // 关联的质点索引
float rest_length; // 自然长度
float stiffness; // 弹性系数k
float damping; // 阻尼系数b
};
2. 弹簧类型多元化
软体中需组合多种弹簧类型以增强结构稳定性：
| 弹簧类型 | 作用 | 示意图 |
|---|---|---|
| 结构弹簧 | 连接相邻节点，防止拉伸 | 粒子间直接连线 |
| 剪切弹簧 | 连接对角线节点，抵抗剪切变形 | 网格对角线连线 |
| 弯曲弹簧 | 跨间隔连接，阻止网格过度弯曲 | 跳过一个节点的长连接 |
III. 软体更新流程：约束与积分结合
1. 完整模拟管线
以下流程每帧执行一次（伪代码）：
void SoftBody::Update(float dt) {
// 1. 重置所有粒子的加速度
for (auto& p : particles) p.acceleration = Vec2(0,0);
// 2. 收集外力（重力、风力等）
ApplyExternalForces(particles);
// 3. Verlet积分更新位置（见前文代码）
for (auto& p : particles) VerletIntegrate(p, dt);
// 4. 处理所有弹簧约束（多次迭代提高稳定性）
for (int i = 0; i < SOLVER_ITERATIONS; ++i) {
for (auto& spring : springs) {
ApplySpringConstraint(spring);
}
}
// 5. 碰撞检测与响应（可选）
ResolveCollisions();
}
2. 弹簧约束的松弛法求解
Verlet常与 位置约束 结合，而非直接处理力。弹簧通过将粒子拉向满足长度的位置来模拟弹性：
void ApplySpringConstraint(const Spring& spring) {
Particle& a = particles[spring.particleA];
Particle& b = particles[spring.particleB];
Vec2 delta = b.position - a.position;
float curr_length = delta.Length();
// 计算长度偏离比例
float diff = (curr_length - spring.rest_length) / curr_length;
if (curr_length == 0) return; // 防止除以零
// 计算位置修正量 (考虑刚度和阻尼)
Vec2 correction = delta * diff * spring.stiffness;
// 分布修正到两个粒子（若可移动）
if (a.movable) a.position += correction * 0.5f;
if (b.movable) b.position -= correction * 0.5f;
}
关键参数：
stiffness越高，弹簧越刚硬（建议0.1~0.9之间）SOLVER_ITERATIONS迭代次数影响稳定性，通常3~6次
IV. 高级技巧：稳定性与优化
1. 时步控制与子步（Substepping）
当时间步长 dt 较大时（如1/30秒），物理更新可能出现抖动。可通过划分子步提升精度：
void SoftBody::UpdateWithSubsteps(float dt, int substeps) {
float sub_dt = dt / substeps;
for (int i = 0; i < substeps; ++i) {
Update(sub_dt); // 执行多次子步更新
}
}
2. 显式与半隐式积分的对比
虽然Verlet适合一般软体场景，但在高刚度系统中可能需要切换到更稳定的隐式积分。 —
| 积分方法 | 复杂度 | 稳定性 | 适合场景 | |——————–|————|——————–|———————-| | 显式Verlet | O(n) | 中等，需迭代松弛 | 适度弹性、布料 | | 隐式欧拉 | O(n³) | 极高，但计算昂贵 | 极刚性材料（如橡胶） | | Position-Based | O(n) | 高度可控 | 实时软体、游戏开发 | —
3. 碰撞与撕裂扩展
- 边界处理：将软体粒子与碰撞体间的排斥力纳入约束
- 动态拓扑修改：当弹簧拉伸超过阈值时移除，模拟布料撕裂
void HandleSpringBreak() {
for (auto& s : springs) {
Vec2 delta = particles[s.particleB].position -
particles[s.particleA].position;
if (delta.Length() > s.rest_length * BREAK_THRESHOLD) {
MarkSpringForDeletion(s); // 标记为待删除
}
}
DeleteMarkedSprings(); // 实际移除超限弹簧
}
V. 实现案例：2D可交互软球
1. 初始化软球
生成圆形分布的质点及交叉弹簧：
SoftBody CreateSoftBall(Vec2 center, float radius, int layers) {
SoftBody ball;
// 生成同心圆粒子层
for (int layer = 0; layer < layers; ++layer) {
float r = radius * (layer + 1) / layers;
int num_particles = 10 * (layer + 1);
for (int i = 0; i < num_particles; ++i) {
float angle = 2 * PI * i / num_particles;
Particle p;
p.position = center + Vec2(r * cos(angle), r * sin(angle));
if (layer == layers-1) p.movable = false; // 外层固定
ball.particles.push_back(p);
}
}
// 构建弹簧网格（结构+剪切+弯曲连接）
// 具体连接逻辑需根据环形拓扑计算，此处简化
return ball;
}
2. 渲染与交互
将粒子网格渲染为三角面片，实现软体形变效果：
void RenderSoftBody(const SoftBody& body) {
// 绘制顶点间连线
for (const auto& spring : body.springs) {
DrawLine(body.particles[spring.particleA].position,
body.particles[spring.particleB].position);
}
// 可选：填充三角面片颜色
for (const auto& face : body.faces) {
FillTriangle(face.p1, face.p2, face.p3);
}
}
VI. 总结：设计抉择与性能调优
1. 关键参数优化表
| 参数 | 性能影响 | 视觉影响 | 推荐优化方向 | |——————–|————————-|———————-|————————–| | 弹簧迭代次数 | 迭代越多，CPU开销越大 | 形变更稳定，抖动减少 | 自适应迭代（动态调整） | | 网格分辨率 | 粒子越多计算负载越高 | 细节更精细 | LOD系统（远近不同精度） | | Verlet子步 | 增加子步提高更新频率 | 运动更顺滑 | 基于场景重要性分级控制 |
2. 生产环境中的常见方案
- 游戏开发：Position-Based Dynamics (PBD) + 低迭代次数，优先保障帧率
- 影视级模拟：有限元法 (FEM) + 隐式积分，追求物理精确性
- 移动端优化：将Verlet计算移至GPU计算着色器，批量处理粒子
// 示例：计算着色器中的Verlet积分（GLSL）
#version 450
layout(local_size_x = 256) in;
layout(std430, binding=0) buffer Particles {
vec2 positions[];
vec2 prev_positions[];
vec2 accelerations[];
bool movable[];
};
void main() {
uint idx = gl_GlobalInvocationID.x;
if (!movable[idx]) return;
vec2 temp = positions[idx];
vec2 velocity = positions[idx] - prev_positions[idx];
positions[idx] += velocity + accelerations[idx] * dt * dt;
prev_positions[idx] = temp;
}