物理基础知识：牛顿运动定律与粒子运动
在游戏引擎中，粒子的运动可以通过牛顿力学来建模，以下是对牛顿三大定律的详细解释及其在粒子运动中的应用。
1. 惯性定律（牛顿第一定律）
- 定义：如果一个物体没有受到外力作用，它将保持静止或匀速直线运动状态。
- 公式：无外力时，速度 v 不变。 \(\sum \mathbf{F} = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = \text{常数}\)
- 应用：在游戏引擎中，如果一个粒子没有受到外力（如重力、摩擦力等），它将保持当前的移动速度和方向。
2. 力、质量与加速度（牛顿第二定律）
- 定义：作用在物体上的力等于物体的质量乘以它的加速度。
- 公式：
\(\mathbf{F} = m \cdot \mathbf{a}\)
其中：
- F 是作用在物体上的力（向量）。
- m 是物体的质量（标量）。
- a 是物体的加速度（向量）。
- 加速度：加速度是速度的变化率，即： \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt}\)
- 应用：在游戏引擎中，通过牛顿第二定律，可以计算粒子在外力作用下的加速度，从而更新其速度和位置。例如：
- 施加一个力 F 给质量为 m 的粒子，计算加速度 a = F / m。
- 基于加速度更新速度 v = v + a * Δt。
- 基于速度更新位置 p = p + v * Δt。
3. 作用力与反作用力（牛顿第三定律）
- 定义：对于每一个作用力，都存在一个大小相等、方向相反的反作用力。
- 公式： \(\mathbf{F}_{A \to B} = -\mathbf{F}_{B \to A}\)
- 应用：在游戏引擎中，牛顿第三定律常用于处理碰撞和交互，例如：
- 两个粒子碰撞时，计算出每个粒子受到的反作用力，并更新它们的运动状态。
力与运动的基本参数
- 力（F）：
- 单位：牛顿（N）。
- 常见的力：重力、摩擦力、空气阻力、弹力等。
- 质量（m）：
- 单位：千克（kg）。
- 表示物体的惯性大小。
- 加速度（a）：
- 单位：米每二次方秒（m/s²）。
- 表示速度的变化率。
- 速度（v）：
- 单位：米每秒（m/s）。
- 表示物体的运动速率和方向。
- 位置（p）：
- 单位：米（m）。
- 表示物体在空间中的坐标。
粒子运动的数学建模
在游戏引擎中，粒子的运动通常通过以下步骤建模：
- 初始化：
- 设置粒子的初始位置 p0、初始速度 v0 和质量 m。
- 计算受力：
- 根据场景中的力（如重力、空气阻力等）计算合力 F。
- 更新加速度： \(\mathbf{a} = \frac{\mathbf{F}}{m}\)
- 更新速度： \(\mathbf{v}_{new} = \mathbf{v}_{old} + \mathbf{a} \cdot \Delta t\)
- 更新位置： \(\mathbf{p}_{new} = \mathbf{p}_{old} + \mathbf{v}_{new} \cdot \Delta t\)
- 重复：
- 在每一帧中重复上述步骤，模拟粒子的连续运动。
示例代码
class Particle {
public:
float mass; // 质量
Vector2 position; // 位置
Vector2 velocity; // 速度
Particle(float mass, Vector2 position, Vector2 velocity)
: mass(mass), position(position), velocity(velocity) {}
// 应用力，更新速度和位置
void applyForce(const Vector2& force, float deltaTime)
{
// 计算加速度：a = F / m
Vector2 acceleration = force / mass;
// 更新速度：v = v + a * dt
velocity += acceleration * deltaTime;
// 更新位置：p = p + v * dt
position += velocity * deltaTime;
}
};